纯函数相关综合(9)(2019版)——压轴系列[尖子生之路]
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纯函数相关综合(9)(2019版)
【试题】已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的对称轴是y轴,其中点M,P,N在抛物线上从左到右依次排列,直线PQ∥y轴交MN于点Q.
(1)若抛物线经过点(-2,1),
①求抛物线解析式;
②当MN∥x轴,且△MNP为直角三角形时,求PQ的长;
(2)过点M作MA⊥PQ,垂足为A,过点N作NB⊥PQ,垂足为B,求证:PQ=a·MA·NB.
【图文解析】
(1)①基本常规题,不解析,答案为y=x2/4.
②如下图示:
得MQ=n-m,NQ=-m-n,
PQ=(m2-n2)/4.
根据抛物线的对称性,得∠NMP和∠PMN均不可能是直角.因此△MNP若为直角三角形,只可能是∠MPN为直角,此时不难得到∠MPQ=∠PNQ,所以tan∠MPQ=tan∠PNQ.得MQ/PQ=PQ/NQ,得PQ2=MQ×NQ.
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(2)【原题再现】已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的对称轴是y轴,其中点M,P,N在抛物线上从左到右依次排列,直线PQ∥y轴交MN于点Q.过点M作MA⊥PQ,垂足为A,过点N作NB⊥PQ,垂足为B,求证:PQ=a·MA·NB.
【图文解析】
由(1)知:抛物线为y=ax2,可设M(m,am2),N(n,an2),P(t,at2).如下图示.
设直线MN为y=kx+c,将点M、N的坐标代入,得
所以直线MN为y=a(m+n)x-amn.
进一步,得Q(t,a(m+n)t-amn).
所以PQ=a(m+n)t-amn-at2
=a(mt+nt-mn-t2).
MA=t-m,NB=n-t.
所以MA·NB=(t-m)(n-t)=mt+nt-mn-t2.
所以PQ=a·MA·NB.
【拓展】已知抛物线y=ax2,其中点M,P,N在抛物线上从左到右依次排列,直线PQ∥y轴交MN于点Q.当MN∥x轴,且△MNP为直角三角形时,用含a的代数式表示PQ的长;
【答案】PQ=1/a.
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